Ta'rif 1
Terlari ixtiyoriy (+), (?) belgilariga ega bo‘lgan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ son qatori o‘zgaruvchan qator deyiladi.
Yuqorida ko'rib chiqilgan o'zgaruvchan qatorlar o'zgaruvchan qatorning maxsus holatidir; Ko'rinib turibdiki, har bir o'zgaruvchan seriya o'zgaruvchan emas. Masalan, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) qatori ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ o'zgaruvchan, lekin o'zgaruvchan qator emas.
E'tibor bering, o'zgaruvchan qatorda (+) va (-) belgisi bilan cheksiz ko'p atamalar mavjud. Agar bu to'g'ri bo'lmasa, masalan, qator chekli sonli manfiy shartlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, u holda ularni tashlab yuborish mumkin va faqat ijobiy shartlardan tashkil topgan qatorni ko'rib chiqish mumkin va aksincha.
Ta'rif 2
Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ son qatori yaqinlashsa va uning yig‘indisi S ga, qisman yig‘indisi $S_n$ ga teng bo‘lsa, $r_(n) ) =S-S_( n) $ qatorning qolgan qismi deyiladi va $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\) to \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, ya'ni. konvergent qatorning qolgan qismi 0 ga intiladi.
Ta'rif 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ seriyasi, agar qator $\sum \limits _(n=1) shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan boʻlsa, mutlaq yaqinlashuv deyiladi. )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Ta'rif 4
Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ biriksa va $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ bo'lsa. (n )\o'ng| $, uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan iborat bo'lib, ajralib chiqadi, keyin asl qator shartli (mutlaq bo'lmagan) konvergent deb ataladi.
1-teorema (oʻzgaruvchan qatorlar yaqinlashuvi uchun yetarli mezon)
Muqobil $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ yaqinlashadi va mutlaq, agar uning shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \o'ng| $.
Izoh
1-teorema o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashuvi uchun faqat etarli shartni beradi. Teskari teorema to'g'ri emas, ya'ni. agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ o'zgaruvchan qator yaqinlashsa, $\sum \limits _(n=1) modullaridan tashkil topgan qator kerak emas. ^( \infty )\left|u_(n) \o'ng| $ (u konvergent yoki divergent bo'lishi mumkin). Masalan, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( qatori \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leybnits mezoniga ko'ra yaqinlashadi va qator $\sum \limits _(n=1) shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan. )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (garmonik qator) farqlanadi.
Mulk 1
Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ qatori absolyut yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda u oʻz shartlarining har qanday almashtirilishi uchun mutlaq yaqinlashadi va qatorlar yigʻindisi quyidagiga bogʻliq emas. shartlar tartibi. Agar $S"$ uning barcha ijobiy shartlarining yig'indisi bo'lsa va $S""$ - manfiy shartlarning barcha mutlaq qiymatlari yig'indisi bo'lsa, u holda $\sum \limitlar seriyasining yig'indisi _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ $S=S"-S""$ ga teng.
Mulk 2
Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ $ absolyut yaqinlashuvchi va $C=(\rm const)$ boʻlsa, $\sum \limits _(n=) qatori. 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ ham mutlaqo yaqinlashuvchidir.
Mulk 3
Agar $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ va $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ qatorlari mutlaqo yaqinlashuvchi boʻlsa, u holda $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ qatorlari ham mutlaq yaqinlashuvchidir.
4-xossa (Riman teoremasi)
Agar qator shartli konvergent bo'lsa, qanday A sonni olsak ham, bu qatorning shartlarini shunday o'zgartirishimiz mumkinki, uning yig'indisi aynan A ga teng bo'ladi; Bundan tashqari, shartli konvergent qatorning shartlarini shunday tartibga solish mumkinki, shundan keyin u ajralib chiqadi.
1-misol
Shartli va mutlaq yaqinlashish uchun qatorlarni tekshiring
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Yechim. Bu qator almashinib turadi, uning umumiy atamasi quyidagicha belgilanadi: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
2-misol
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ qatorini mutlaq va shartli yaqinlashish uchun tekshiring.
- Keling, ketma-ketlikni mutlaq yaqinlashish uchun ko'rib chiqaylik. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ ni belgilaymiz va $a_(n) =\ mutlaq qiymatlar qatorini tuzamiz. chap|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Biz $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| seriyasini olamiz. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ musbat shartlar bilan, bunga qatorlarni solishtirish uchun chegara testini qo'llaymiz. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) qatorlari bilan taqqoslash uchun ) )(n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( koʻrinishga ega boʻlgan qatorni koʻrib chiqamiz. \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu qator $p=\frac(1)(2) koʻrsatkichli Dirixlet seriyasidir.
- Keyin shartli uchun $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ asl qatorini tekshiramiz. konvergentsiya. Buning uchun Leybnits testi shartlarining bajarilishini tekshiramiz. 1-shart): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, bunda $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , ya'ni. bu seriya almashinadi. Seriya hadlarining monoton kamayishi haqidagi 2) shartni tekshirish uchun quyidagi usuldan foydalanamiz. $x\in ) da aniqlangan $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ yordamchi funksiyasini ko‘rib chiqaylik.
