Përkufizimi 1
Seria e numrave $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, termat e së cilës kanë shenja arbitrare (+), (?), quhet seri alternative.
Seritë alternative të diskutuara më sipër janë një rast i veçantë i një serie alternative; Është e qartë se jo çdo seri alternative është e alternuar. Për shembull, seria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ e alternuar, por jo një seri alternative.
Vini re se në një seri alternative ka pafundësisht shumë terma me shenjën (+) dhe shenjën (-). Nëse kjo nuk është e vërtetë, për shembull, seria përmban një numër të kufizuar termash negativë, atëherë ato mund të hidhen poshtë dhe një seri e përbërë vetëm nga terma pozitivë mund të konsiderohet dhe anasjelltas.
Përkufizimi 2
Nëse seria e numrave $\sum \ limitet _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergjon dhe shuma e saj është e barabartë me S, dhe shuma e pjesshme është e barabartë me $S_n$, atëherë $r_(n ) =S-S_( n) $ quhet pjesa e mbetur e serisë, dhe $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ në \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, d.m.th. pjesa e mbetur e serisë konvergjente tenton në 0.
Përkufizimi 3
Seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ quhet absolutisht konvergjente nëse seria e përbërë nga vlerat absolute të termave të saj $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\majtas|u_(n) \djathtas| $.
Përkufizimi 4
Nëse seria e numrave $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergjon, dhe seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n)\djathtas| $, i përbërë nga vlerat absolute të anëtarëve të tij, divergjent, atëherë seria origjinale quhet konvergjente me kusht (jo absolutisht).
Teorema 1 (një kriter i mjaftueshëm për konvergjencën e serive alternative)
Një seri alternative $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergjon, dhe absolutisht, nëse seria e përbërë nga vlerat absolute të termave të saj konvergjon $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\majtas|u_(n) \djathtas| $.
Koment
Teorema 1 ofron vetëm një kusht të mjaftueshëm për konvergjencën e serive alternative. Teorema e kundërt nuk është e vërtetë, d.m.th. nëse seria alternative $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konvergjon, atëherë nuk është e nevojshme që seria e përbërë nga modulet $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\majtas|u_(n) \djathtas| $ (mund të jetë ose konvergjent ose divergjent). Për shembull, seria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \ limitet _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konvergjon sipas kriterit të Leibniz, dhe seria e përbërë nga vlerat absolute të termave të saj $\sum \ limitet _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (seri harmonike) divergjent.
Prona 1
Nëse seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ është absolutisht konvergjente, atëherë ajo konvergon absolutisht për çdo ndryshim të termave të saj dhe shuma e serisë nuk varet nga renditja e kushteve. Nëse $S"$ është shuma e të gjitha termave të saj pozitive, dhe $S""$ është shuma e të gjitha vlerave absolute të termave negativë, atëherë shuma e serisë $\sum \ limitet _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ është e barabartë me $S=S"-S""$.
Prona 2
Nëse seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ është absolutisht konvergjente dhe $C=(\rm const)$, atëherë seria $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ është gjithashtu absolutisht konvergjente.
Prona 3
Nëse seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ dhe $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ janë absolutisht konvergjente, atëherë seria $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ janë gjithashtu absolutisht konvergjente.
Vetia 4 (teorema e Rimanit)
Nëse seria është konvergjente me kusht, atëherë pavarësisht nga numri A që marrim, ne mund t'i riorganizojmë termat e kësaj serie në mënyrë që shuma e saj të dalë saktësisht e barabartë me A; Për më tepër, është e mundur të riorganizohen kushtet e një serie konvergjente me kusht në mënyrë që pas kësaj të divergjojë.
Shembulli 1
Shqyrtoni seritë për konvergjencë të kushtëzuar dhe absolute
\[\ shuma \ limitet _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n))(n .\] !}
Zgjidhje. Kjo seri është e alternuar, termi i përgjithshëm i së cilës do të shënohet me: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Shembulli 2
Shqyrtoni serinë $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ për konvergjencë absolute dhe të kushtëzuar.
- Le të shqyrtojmë serinë për konvergjencë absolute. Le të shënojmë $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ dhe të krijojmë një seri vlerash absolute $a_(n) =\ majtas|u_(n) \djathtas|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Marrim serinë $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ me terma pozitivë, për të cilat aplikojmë testin limit për krahasimin e serive. Për krahasim me serinë $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ konsideroni një seri që ka formën $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \ limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Kjo seri është një seri Dirichlet me eksponent $p=\frac(1)(2)
- Më pas, shqyrtojmë serinë origjinale $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ për kusht konvergjencës. Për ta bërë këtë, ne kontrollojmë plotësimin e kushteve të testit të Leibniz. Kushti 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, ku $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , d.m.th. kjo seri është e alternuar. Për të kontrolluar kushtin 2) për uljen monotonike të termave të serisë, ne përdorim metodën e mëposhtme. Merrni parasysh funksionin ndihmës $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ të përcaktuar në $x\in)
