Definicja 1
Szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, którego wyrazy mają dowolne znaki (+), (?), nazywany jest szeregiem przemiennym.
Omówione powyżej szeregi przemienne są szczególnym przypadkiem szeregów przemiennych; Jest oczywiste, że nie każdy szereg naprzemienny jest naprzemienny. Na przykład seria $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ naprzemiennie, ale nie naprzemiennie.
Należy zauważyć, że w szeregu naprzemiennym istnieje nieskończenie wiele wyrazów zawierających zarówno znak (+), jak i znak (-). Jeśli nie jest to prawdą, np. szereg zawiera skończoną liczbę wyrazów ujemnych, to można je odrzucić i rozpatrywać szereg złożony wyłącznie z wyrazów dodatnich i odwrotnie.
Definicja 2
Jeśli szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny i jego suma jest równa S, a suma częściowa jest równa $S_n$ , to $r_(n ) =S-S_( n) $ nazywa się resztą szeregu, a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ do \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, tj. reszta szeregu zbieżnego dąży do 0.
Definicja 3
Szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ nazywany jest absolutnie zbieżnym, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Definicja 4
Jeżeli szereg liczbowy $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny, a szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n)\prawo| $, złożony z wartości bezwzględnych jego członków, jest rozbieżny, wówczas pierwotny szereg nazywa się warunkowo (nieabsolutnie) zbieżnym.
Twierdzenie 1 (wystarczające kryterium zbieżności szeregów przemiennych)
Szereg przemienny $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny i bezwzględnie, jeśli szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów jest zbieżny $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Komentarz
Twierdzenie 1 dostarcza jedynie warunku wystarczającego zbieżności szeregów przemiennych. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tj. jeśli szereg naprzemienny $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest zbieżny, to nie jest konieczne, aby szereg złożony z modułów $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (może być zbieżny lub rozbieżny). Na przykład seria $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ zbiega się według kryterium Leibniza, a szereg złożony z wartości bezwzględnych jego wyrazów $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (szereg harmoniczny) jest rozbieżny.
Właściwość 1
Jeśli szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnej permutacji jego wyrazów, a suma szeregu nie zależy od kolejność warunków. Jeśli $S"$ jest sumą wszystkich jego wyrazów dodatnich, a $S""$ jest sumą wszystkich wartości bezwzględnych wyrazów ujemnych, to suma szeregu $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ równa się $S=S"-S""$.
Własność 2
Jeśli szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ jest bezwzględnie zbieżny i $C=(\rm const)$, to szereg $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ jest również całkowicie zbieżny.
Własność 3
Jeśli szeregi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ i $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ są bezwzględnie zbieżne, to wówczas szeregi $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ są również absolutnie zbieżne.
Właściwość 4 (twierdzenie Riemanna)
Jeżeli szereg jest zbieżny warunkowo, to niezależnie od tego, jaką liczbę A wybierzemy, możemy zmienić wyrazy tego szeregu tak, aby jego suma okazała się dokładnie równa A; Co więcej, możliwe jest przestawienie wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego, tak aby po tym był on rozbieżny.
Przykład 1
Zbadaj szereg pod kątem zbieżności warunkowej i absolutnej
\[\suma \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Rozwiązanie. Szereg ten jest naprzemienny, którego wyraz ogólny będzie oznaczony wzorem: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Przykład 2
Zbadaj szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pod kątem zbieżności bezwzględnej i warunkowej.
- Zbadajmy szereg pod kątem zbieżności absolutnej. Oznaczmy $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ i ułóżmy szereg wartości bezwzględnych $a_(n) =\ lewy|u_(n ) \prawy|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Otrzymujemy szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ z wyrazami dodatnimi, do których stosujemy test graniczny do porównywania szeregów. Dla porównania z szeregiem $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ rozważmy szereg mający postać $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Ten szereg jest szeregiem Dirichleta z wykładnikiem $p=\frac(1)(2)
- Następnie sprawdzamy oryginalny szereg $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pod kątem warunku konwergencja. W tym celu sprawdzamy spełnienie warunków testu Leibniza. Warunek 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, gdzie $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. ten szereg jest naprzemienny. Aby sprawdzić warunek 2) dotyczący monotonicznego zmniejszania wyrazów szeregu, stosujemy następującą metodę. Rozważmy funkcję pomocniczą $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ zdefiniowaną w $x\in )
