Il numero più semplice è numero naturale. Sono usati nella vita di tutti i giorni per contare oggetti, cioè per calcolarne il numero e l'ordine.
Cos'è un numero naturale: numeri naturali nominare i numeri a cui sono abituati contare gli articoli o indicare il numero di serie di qualsiasi articolo tra tutti omogenei elementi.
Numeri interi- questi sono numeri che iniziano da uno. Si formano naturalmente durante il conteggio.Ad esempio, 1,2,3,4,5... -primi numeri naturali.
Numero naturale più piccolo- uno. Non esiste un numero naturale massimo. Quando si conta il numero Lo zero non viene utilizzato, quindi lo zero è un numero naturale.
Serie di numeri naturaliè la successione di tutti i numeri naturali. Scrivere i numeri naturali:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
Nella serie naturale ogni numero è uno dopo l'altro maggiore del precedente.
Quanti numeri ci sono nella serie naturale? La serie naturale è infinita; il numero naturale più grande non esiste.
Decimale poiché 10 unità di qualsiasi cifra formano 1 unità della cifra più alta. Posizionalmente così come il significato di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero, ad es. dalla categoria in cui è scritto.
Classi di numeri naturali.
Qualsiasi numero naturale può essere scritto utilizzando 10 numeri arabi:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Per leggere i numeri naturali si dividono, partendo da destra, in gruppi di 3 cifre ciascuno. 3 prima i numeri a destra sono la classe delle unità, i successivi 3 sono la classe delle migliaia, poi le classi dei milioni, dei miliardi eeccetera. Ognuna delle cifre della classe è chiamata suascarico.
Confronto tra numeri naturali.
Di 2 numeri naturali, il più piccolo è il numero che viene chiamato prima durante il conteggio. Per esempio, numero 7 meno 11 (scritto così:7 < 11 ). Quando un numero è maggiore del secondo si scrive così:386 > 99 .
Tabella delle cifre e classi di numeri.
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Unità di 1a classe |
1a cifra dell'unità Decine della seconda cifra 3° posto centinaia |
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2a classe mille |
Prima cifra dell'unità di migliaia 2a cifra decine di migliaia 3a categoria centinaia di migliaia |
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Milioni di terza classe |
Prima cifra dell'unità di milioni Decine di milioni di seconda categoria Centinaia di milioni di terza categoria |
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Miliardi di quarta classe |
Prima cifra dell'unità di miliardi Decine di miliardi di seconda categoria Terza categoria centinaia di miliardi |
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I numeri dalla 5a elementare in su sono considerati numeri grandi. Le unità della 5a classe sono trilioni, 6a classe - quadrilioni, 7a classe - quintilioni, 8a classe - sestilioni, 9a classe - eptillioni. Proprietà fondamentali dei numeri naturali.
Operazioni sui numeri naturali. 4. La divisione dei numeri naturali è l'operazione inversa della moltiplicazione. Se b ∙ c = a, Quello
Formule per la divisione: un: 1 = un a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (UN∙ b) : c = (a:c) ∙ b (UN∙ b) : c = (b:c) ∙ a Espressioni numeriche e uguaglianze numeriche. Una notazione in cui i numeri sono collegati da segni di azione è espressione numerica. Ad esempio, 10∙3+4; (60-2∙5):10. I record in cui 2 espressioni numeriche sono combinate con un segno di uguale sono uguaglianze numeriche. L’uguaglianza ha lati sinistro e destro. L'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche. L'addizione e la sottrazione di numeri sono operazioni di primo grado, mentre la moltiplicazione e la divisione sono operazioni di secondo grado. Quando un'espressione numerica è composta da azioni di un solo grado, queste vengono eseguite in sequenza da sinistra a destra. Quando le espressioni consistono solo di azioni di primo e secondo grado, le azioni vengono eseguite per prime secondo grado, e poi - azioni di primo grado. Quando in un'espressione sono presenti parentesi, le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime. Ad esempio, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
La lezione “Denotazione dei numeri naturali” è la prima lezione del corso di matematica di quinta elementare ed è una continuazione, e in alcuni punti, una ripetizione di un argomento simile studiato nel corso delle scuole elementari. Di conseguenza, gli studenti spesso non percepiscono il materiale didattico con molta attenzione. Pertanto, per ottenere il massimo interesse e concentrazione, è necessario introdurre nuovi metodi di spiegazione, ad esempio utilizzare la presentazione "Designazione dei numeri naturali".
La lezione inizia con un ripasso di una serie di numeri, nonché il concetto di numero naturale e la sua notazione decimale. Viene spiegato che la sequenza di tutti i numeri naturali è chiamata serie naturale e viene fornito un esempio dei suoi primi venti elementi. Durante la presentazione, viene prestata particolare attenzione al significato del numero a seconda il suo posto nel record del numero. Per fare ciò, consideriamo di scrivere un numero per cifre. Attraverso un'animazione efficace e non invadente, viene mostrato agli studenti cosa significa uno stesso numero a seconda di dove si trova: nelle unità, nelle decine, ecc.
Non è raro vedere che, oltre al fatto che il numero zero viene spesso utilizzato sia nella vita di tutti i giorni che nei corsi di matematica, gli scolari incontrano difficoltà quando devono spiegare di che tipo di numero si tratta. Per aumentare l'efficacia della comprensione del concetto di zero, viene fornito un esempio di punteggio in una partita di calcio. L’attenzione degli studenti è focalizzata anche sul fatto che 0 non sono classificati come numeri naturali.
La presentazione esamina in dettaglio, utilizzando esempi, i concetti di numero a una cifra, a due cifre, a tre cifre e a quattro cifre. Sono stati considerati i record di un milione e un miliardo. Particolare attenzione è posta alla corretta lettura dei numeri a più cifre e alla loro suddivisione in classi. Utilizzando una tabella per la scrittura di un numero a più cifre evidenziando classi e gradi, si dimostra che la classe di sinistra, a differenza di tutte le altre, può avere meno di tre cifre.
Per poter verificare i risultati dell'assimilazione del nuovo materiale da parte degli studenti, lo sviluppo della presentazione contiene un elenco di domande che coprono completamente il materiale presentato. Ciò consentirà all'insegnante di reagire il più rapidamente possibile ai punti che non sono pienamente compresi dagli scolari. come risultato dello studio di questo argomento.
Poiché la presentazione "Designazione dei numeri naturali" presenta l'argomento a un livello chiaro e accessibile, la presentazione del materiale didattico è logica e coerente, può essere utilizzata con successo non solo durante una spiegazione in classe di questo argomento, ma anche durante lezioni indipendenti o a distanza. apprendimento da parte degli scolari.
Numeri interi– numeri che vengono utilizzati per contare gli oggetti . Qualsiasi numero naturale può essere scritto utilizzando dieci numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Questo tipo di numero è chiamato decimale
Viene chiamata la sequenza di tutti i numeri naturali naturale accanto .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Più piccolo il numero naturale è uno (1). Nella serie naturale ogni numero successivo è maggiore di 1 rispetto al precedente. Serie naturali infinito, non c'è un numero più grande in esso.
Il significato di una cifra dipende dalla sua posizione nel record numerico. Ad esempio, il numero 4 significa: 4 unità se è all'ultimo posto nel record del numero (in unità posto); 4 dieci, se è al penultimo posto (al posto delle decine); 4 centinaia, se è al terzo posto dalla fine (V centinaia di posti).
Il numero 0 significa assenza di unità di questa categoria nella notazione decimale di un numero. Serve anche a designare il numero “ zero" Questo numero significa "nessuno". Il punteggio 0:3 in una partita di calcio significa che la prima squadra non ha segnato un solo gol contro l'avversario.
Zero non comprendono ai numeri naturali. E infatti il conteggio degli oggetti non inizia mai da zero.
Se la notazione di un numero naturale è composta da un segno – una cifra, quindi viene chiamato inequivocabile. Quelli. inequivocabilenumero naturale– un numero naturale, la cui notazione è costituita da un segno – una cifra. Ad esempio, i numeri 1, 6, 8 sono cifre singole.
Doppia cifranumero naturale– un numero naturale, la cui notazione è composta da due caratteri – due cifre.
Ad esempio, i numeri 12, 47, 24, 99 sono numeri a due cifre.
Inoltre, in base al numero di caratteri di un dato numero, danno nomi ad altri numeri:
numeri 326, 532, 893 – tre cifre;
numeri 1126, 4268, 9999 – quattro cifre eccetera.
Due cifre, tre cifre, quattro cifre, cinque cifre, ecc. vengono chiamati i numeri numeri a più cifre .
Per leggere i numeri a più cifre, questi si dividono, partendo da destra, in gruppi di tre cifre ciascuno (il gruppo più a sinistra può essere composto da una o due cifre). Questi gruppi sono chiamati classi.
Milioni– questo è millemila (1000mila), si scrive 1 milione o 1.000.000.
Miliardi- sono 1000 milioni. È scritto come 1 miliardo o 1.000.000.000.
Le prime tre cifre a destra costituiscono la classe delle unità, le tre successive la classe delle migliaia, poi vengono le classi dei milioni, dei miliardi, ecc. (Fig. 1).
Riso. 1. Classe dei milioni, classe delle migliaia e classe delle quote (da sinistra a destra)
Nella griglia di bit è scritto il numero 15389000286 (Fig. 2).
Riso. 2. Griglia di bit: numero 15 miliardi 389 milioni 286
Questo numero ha 286 unità nella classe delle unità, zero unità nella classe delle migliaia, 389 unità nella classe dei milioni e 15 unità nella classe dei miliardi.
Posto zero
Esistono due approcci per definire i numeri naturali:
- contare (numerare) elementi ( Primo, secondo, terzo, il quarto, quinto…);
- i numeri naturali sono numeri che nascono quando designazione della quantità elementi ( 0 articoli, 1 articolo, 2 articoli, 3 articoli, 4 articoli, 5 articoli…).
Nel primo caso, la serie dei numeri naturali inizia da uno, nel secondo da zero. Non c'è consenso tra la maggior parte dei matematici sulla preferenza del primo o del secondo approccio (vale a dire, se lo zero debba essere considerato un numero naturale o meno). La stragrande maggioranza delle fonti russe adotta tradizionalmente il primo approccio. Il secondo approccio è, ad esempio, adottato nei lavori di Nicolas Bourbaki, dove i numeri naturali sono definiti come cardinalità di insiemi finiti. La presenza dello zero rende più semplice formulare e dimostrare molti teoremi nell'aritmetica dei numeri naturali, quindi il primo approccio introduce l'utile concetto area naturale estesa zero compreso.
L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato dal simbolo. Gli standard internazionali ISO 31-11 (1992) e ISO 80000-2 (2009) stabiliscono le seguenti designazioni:
Nelle fonti russe questo standard non è ancora stato osservato: contengono un simbolo N (\displaystyle \mathbb (N) ) denota i numeri naturali senza zero e viene denotata la serie naturale estesa N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) eccetera.
Assiomi che permettono di determinare l'insieme dei numeri naturali
Assiomi di Peano per i numeri naturali
Un mucchio di N (\displaystyle \mathbb (N) ) verrà chiamato insieme di numeri naturali se qualche elemento è fisso 1 (unità), funzione S (\displaystyle S) con dominio di definizione N (\displaystyle \mathbb (N) ), chiamata funzione follow ( S: N (\displaystyle S\due punti \mathbb (N) )) e sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- l'elemento uno appartiene a questo insieme ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), cioè è un numero naturale;
- anche il numero che segue il numero naturale è un numero naturale (se , allora S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) o, in notazione più breve, S: N → N (\displaystyle S\due punti \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
- non segue alcun numero naturale ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
- se un numero naturale un (\displaystyle un) segue immediatamente come numero naturale b (\displaystyle b) e per un numero naturale c (\displaystyle c), Quello b (\displaystyle b) E c (\displaystyle c)è lo stesso numero (se S (b) = un (\displaystyle S(b)=a) E S (c) = un (\displaystyle S(c)=a), Quello b = c (\displaystyle b=c));
- (assioma di induzione) se qualsiasi frase (affermazione) P (\displaystyle P) dimostrato per i numeri naturali n = 1 (\displaystyle n=1) (base ad induzione) e se dal presupposto che sia vero per un altro numero naturale n (\displaystyle n), ne consegue che vale per quanto segue n (\displaystyle n) numero naturale ( ipotesi induttiva), allora questa frase è vera per tutti i numeri naturali (let P(n) (\displaystyle P(n))- un predicato monoposto (unario) il cui parametro è un numero naturale n (\displaystyle n). Allora se P(1) (\displaystyle P(1)) E ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), Quello ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).
Gli assiomi elencati riflettono la nostra comprensione intuitiva delle serie naturali e della linea numerica.
Il fatto fondamentale è che questi assiomi definiscono essenzialmente in modo univoco i numeri naturali (la natura categorica del sistema assioma di Peano). Vale a dire, si può dimostrare (vedi anche una breve dimostrazione) che se (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) E (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- due modelli per il sistema assioma di Peano, allora sono necessariamente isomorfi, cioè esiste una mappatura invertibile (biiezione) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tale che f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) E f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) per tutti x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).
Pertanto, è sufficiente correggere come N (\displaystyle \mathbb (N) ) qualsiasi modello specifico dell'insieme dei numeri naturali.
A volte, soprattutto nella letteratura straniera e tradotta, nel primo e nel terzo assioma di Peano l'uno è sostituito dallo zero. In questo caso lo zero è considerato un numero naturale. Quando definito attraverso classi di insiemi di equipotenza, lo zero è un numero naturale per definizione. Sarebbe innaturale rifiutarlo deliberatamente. Inoltre, ciò complicherebbe notevolmente l'ulteriore costruzione e applicazione della teoria, poiché nella maggior parte delle costruzioni lo zero, come l'insieme vuoto, non è qualcosa di separato. Un altro vantaggio di considerare lo zero come un numero naturale è che esso N (\displaystyle \mathbb (N) ) forma un monoide. Come già accennato, nella letteratura russa tradizionalmente lo zero è escluso dall'elenco dei numeri naturali.
Definizione insiemistica dei numeri naturali (definizione di Frege-Russell)
Pertanto, i numeri naturali vengono introdotti anche in base al concetto di insieme, secondo due regole:
I numeri definiti in questo modo sono detti ordinali.
Descriviamo i primi numeri ordinali e i corrispondenti numeri naturali:
Grandezza dell'insieme dei numeri naturali
La dimensione di un insieme infinito è caratterizzata dal concetto di “cardinalità di un insieme”, che è una generalizzazione del numero di elementi di un insieme finito a insiemi infiniti. In grandezza (cioè cardinalità), l'insieme dei numeri naturali è maggiore di qualsiasi insieme finito, ma minore di qualsiasi intervallo, ad esempio l'intervallo (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). L’insieme dei numeri naturali ha la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri razionali. Un insieme che ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri naturali è detto insieme numerabile. Pertanto, l'insieme dei termini di qualsiasi sequenza è numerabile. Allo stesso tempo, esiste una sequenza in cui ciascun numero naturale appare un numero infinito di volte, poiché l'insieme dei numeri naturali può essere rappresentato come un'unione numerabile di insiemi numerabili disgiunti (ad esempio, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).
Operazioni sui numeri naturali
Le operazioni chiuse (operazioni che non derivano un risultato dall'insieme dei numeri naturali) sui numeri naturali includono le seguenti operazioni aritmetiche:
Inoltre vengono considerate altre due operazioni (da un punto di vista formale non sono operazioni sui numeri naturali, poiché non sono definite per tutti coppie di numeri (a volte esistono, a volte no)):
Va notato che le operazioni di addizione e moltiplicazione sono fondamentali. In particolare, l'anello degli interi è definito proprio attraverso le operazioni binarie di addizione e moltiplicazione.
Proprietà di base
- Commutatività dell'addizione:
- Commutatività della moltiplicazione:
- Associatività aggiuntiva:
- Associatività di moltiplicazione:
- Distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione:
Struttura algebrica
L'addizione trasforma l'insieme dei numeri naturali in un semigruppo con unità, il ruolo dell'unità è svolto da 0 . La moltiplicazione trasforma anche l'insieme dei numeri naturali in un semigruppo con identità, essendo l'elemento identità 1 . Utilizzando le chiusure rispetto alle operazioni di addizione-sottrazione e moltiplicazione-divisione si ottengono gruppi di interi Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) e numeri razionali positivi Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) rispettivamente.
Numeri destinati a contare gli oggetti e a rispondere alla domanda “quanti?” ("Quanti
palle?", "Quante mele?", "Quanti soldati?"), sono detti naturali.
Se li scrivi in ordine, dal numero più piccolo al più grande, ottieni una serie naturale di numeri:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …
La serie naturale dei numeri inizia con il numero 1.
Ogni numero naturale successivo è 1 maggiore del precedente.
La serie naturale dei numeri è infinita.
I numeri possono essere pari o dispari. I numeri pari sono divisibili per due, ma i numeri dispari non sono divisibili per due.
Serie di numeri dispari:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …
Serie di numeri pari:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …
Nella serie naturale si alternano i numeri pari e dispari:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …
Come confrontare i numeri naturali
Quando si confrontano due numeri naturali, quello a destra nella serie naturale è maggiore:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Quindi sette è più di tre e cinque è più di uno.
In matematica la parola “meno” si scrive con il segno “<», а для записи слова «больше» - знак « > ».
L'angolo acuto dei simboli maggiore e minore punta sempre verso il minore dei due numeri.
La voce 7 > 3 viene letta come “sette su tre”.
Inserimento 3< 7 читается как «три меньше семи».
La voce 5 > 1 viene letta come “cinque su uno”.
Inserimento 1< 5 читается как «один меньше пяти».
La parola “uguale” in matematica viene sostituita con il segno “=":
Quando i numeri sono grandi, è difficile dire immediatamente quale sia a destra nella serie naturale.
Quando si confrontano due numeri naturali con un numero di cifre diverso, quello con il maggior numero di cifre è maggiore.
Ad esempio, 233.000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.
I numeri naturali a più cifre con lo stesso numero di cifre vengono confrontati bit per bit, iniziando dalla cifra più significativa.
Innanzitutto vengono confrontate le unità della cifra più significativa, poi quella successiva, poi quella successiva e così via. Ad esempio, confrontiamo i numeri 5401 e 5430:
5401 = 5mila 4 centinaia 0 decine 1 unità;
5430 = 5mila 4 centinaia 3 decine 0 unità.
Confronto di unità di migliaia. Al posto delle unità di migliaia del numero 5401 ci sono 5 unità, al posto delle unità di migliaia del numero 5430 ci sono 5 unità. Confrontando unità di migliaia, è ancora impossibile dire quale numero sia più grande.
Confrontando centinaia. Nella cifra delle centinaia del numero 5401 ci sono 4 unità, nella cifra delle centinaia anche il numero 5430 è di 4 unità. Dobbiamo continuare il confronto.
Confronto tra decine. Nella cifra delle decine del numero 5401 ci sono 0 unità, nella cifra delle decine del numero 5430 ci sono 3 unità.
Confrontando otteniamo 0< 3, поэтому 5401 < 5430.
I numeri possono essere disposti in ordine decrescente o crescente.
Se in una serie di più numeri naturali ciascun numero successivo è inferiore al precedente, si dice che i numeri siano scritti in ordine decrescente.
Scriviamo i numeri 5, 22, 13, 800 in ordine decrescente.
Troviamo un numero maggiore. Il numero 5 è un numero a una cifra, 13 e 22 sono numeri a due cifre, 800 è un numero a tre cifre e quindi il più grande. Scriviamo 800 in primo luogo.
Dei numeri a due cifre 13 e 22, il maggiore è 22. Dopo il numero 800 scriviamo il numero 22, e poi 13.
Il numero più piccolo è il numero a una cifra 5. Lo scriviamo per ultimo.
800, 22, 13, 5 - registrando questi numeri in ordine decrescente.
Se in una serie di più numeri naturali ogni numero successivo è maggiore del precedente, si dice che i numeri siano scritti in ordine crescente.
Come scrivere i numeri 15, 2, 31, 278, 298 in ordine crescente?
Tra i numeri 15, 2, 31, 278, 298 troveremo quello più piccolo.
Questo è un numero 2 a una cifra. Scriviamolo per primo.
Dai numeri a due cifre 15 e 31, scegli quello più piccolo - 15, scrivilo al secondo posto e dopo - 31.
Dei numeri a tre cifre, 278 è il più piccolo, lo scriviamo dopo il numero 31 e l'ultimo scriviamo il numero 298.
2, 15, 21, 278, 298 - scrivendo questi numeri in ordine crescente
