Definizione 1
La serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, i cui termini hanno segni arbitrari (+), (?), è chiamata serie alternata.
Le serie alternate discusse sopra sono un caso speciale di serie alternate; È chiaro che non tutte le serie alternate sono alternate. Ad esempio, la serie $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternato, ma non una serie alternata.
Si noti che in una serie alternata ci sono infiniti termini sia con il segno (+) che con il segno (-). Se questo non è vero, ad esempio, la serie contiene un numero finito di termini negativi, allora questi possono essere scartati e si può considerare una serie composta solo da termini positivi, e viceversa.
Definizione 2
Se la serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge e la sua somma è uguale a S, e la somma parziale è uguale a $S_n$ , allora $r_(n ) =S-S_( n) $ è chiamato il resto della serie e $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ a \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, cioè il resto della serie convergente tende a 0.
Definizione 3
La serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ si dice assolutamente convergente se la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Definizione 4
Se la serie di numeri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge e la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\destra| $, composta dai valori assoluti dei suoi membri, diverge, quindi la serie originaria si dice condizionatamente (non assolutamente) convergente.
Teorema 1 (un criterio sufficiente per la convergenza delle serie alternate)
Una serie alternata $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, ed in assoluto, se converge la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Commento
Il Teorema 1 fornisce solo una condizione sufficiente per la convergenza di serie alternate. Il teorema contrario non è vero, cioè se la serie alternata $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ converge, allora non è necessario che la serie composta dai moduli $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (può essere convergente o divergente). Ad esempio, la serie $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ converge secondo il criterio di Leibniz, e la serie composta dai valori assoluti dei suoi termini $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (serie armonica) diverge.
Proprietà 1
Se la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ è assolutamente convergente, allora converge assolutamente per qualsiasi permutazione dei suoi termini, e la somma della serie non dipende dalla ordine dei termini. Se $S"$ è la somma di tutti i suoi termini positivi e $S""$ è la somma di tutti i valori assoluti dei termini negativi, allora la somma della serie $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ è uguale a $S=S"-S""$.
Proprietà 2
Se la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ è assolutamente convergente e $C=(\rm const)$, allora la serie $\sum \limits _(n= Anche 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ è assolutamente convergente.
Proprietà 3
Se le serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ e $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ sono assolutamente convergenti, allora anche le serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ sono assolutamente convergenti.
Proprietà 4 (teorema di Riemann)
Se la serie è condizionatamente convergente, allora qualunque sia il numero A preso, possiamo riorganizzare i termini di questa serie in modo che la sua somma risulti esattamente uguale ad A; Inoltre, è possibile riorganizzare i termini di una serie condizionatamente convergente in modo che dopo diverga.
Esempio 1
Esaminare la serie per la convergenza condizionale e assoluta
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Soluzione. Questa serie è alternata, il cui termine generale sarà indicato con: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Esempio 2
Esaminare la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ per la convergenza assoluta e condizionale.
- Esaminiamo la serie per convergenza assoluta. Denotiamo $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ e componiamo una serie di valori assoluti $a_(n) =\ left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Otteniamo la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ con termini positivi, a cui applichiamo il test limite per il confronto delle serie. Per confronto con la serie $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ consideriamo una serie che ha la forma $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Questa serie è una serie di Dirichlet con esponente $p=\frac(1)(2)
- Successivamente, esaminiamo la serie originale $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ per il condizionale convergenza. Per fare ciò, controlliamo il rispetto delle condizioni del test di Leibniz. Condizione 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, dove $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , cioè. questa serie è alternata. Per verificare la condizione 2) relativa alla diminuzione monotona dei termini della serie, utilizziamo il seguente metodo. Considera la funzione ausiliaria $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definita in $x\in )
